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DIAGONAIS DE UM POLÍGONO

A diagonal de um polígono regular é um segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do referido polígono (se os vértices forem consecutivos, teremos obviamente um lado do polígono).

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Como o triângulo não possui vértices não consecutivos, então não possui diagonais. O quadrado possui duas diagonais, o pentágono possui cinco...

diagonais_fig01.png

Observe que, ao se escolher um vértice qualquer do polígono, para os seus dois vértices vizinhos não podem partir diagonais (e nem para o próprio vértice em questão, claro). Ou seja, sendo n o número de lados/vértices do polígono, então já partimos com (n - 3).

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Além disso, cada diagonal sai de um vértice e chega em outro: portanto, precisamos dividir por 2 para não contar as diagonais duas vezes. No final das contas, a fórmula para se determinar o número de diagonais d de um polígono com n lados é:

diagonais_fig02.png

Como bem, seja um polígono regular de 32 lados. Fazemos:

diagonais_fig03.png

Já para um polígono regular de 16 lados:

diagonais_fig04.png

Considerações finais: ao aplicarmos a propriedade distributiva no numerador da fórmula, obtemos uma Função Quadrática, cujo gráfico pode ser visto abaixo.

diagonal_fig06.png

E no qual destaquei três pontos (em verde):

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  • (3, 0): Triângulo com zero diagonal;

  • (4, 2): Quadrado com duas diagonais;

  • (5, 5): Pentágono com cinco diagonais.

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Note, ainda, que n é natural e maior que 3; assim, o gráfico de nossa situação não pode ser a parábola, mas os pontos verdes.

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